二阶电路时域分析的数学基础

引言：电容的电流是其电压对时间的一阶导数，电感的电流是其电压在时间上的积分。对于含有电容和电感的电路列方程，方程中会同时含有导数及积分的项。为了消去积分项，我们需要在方程两端都对时间求导，这样方程中原来的一阶导数就会变成二阶导数。因此，对于此类问题，我们需要用二阶微分方程来描述。其解的形式与一阶微分方程会有很大的不同，值得我们专门去研究。由一个电容、一个电感、一个电阻的串联电路（RLC串联电路），就可以用二阶线性常系数微分方程去描述，本文以求解该方程为例，顺便整理二阶微分方程所需要的数学知识。由于二阶微分方程的解十分复杂，因此本文会在计算过程中加入许多约束条件，并仅会研究在这些约束条件下二阶微分方程的解。对本文的任何疑问，都可以联系作者（联系方式见：www.diqiuyi.org “关于”页面)。

索引(可以尝试单击下面的标题)：

2.2.1 由零初始条件确定的唯一解(零状态响应)

2.2.2 由非零初始条件确定的唯一解(全响应)

正文：

一求解齐次微分方程(零输入响应)

需要求解的方程：

注释：其中v(t)是我们要求解的函数，t是自变量，R、L、C均是数值为正的实常数。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。

我们要解这个微分方程，需要知道该方程解的结构。下面以定理的形式给出：

1.1 寻找两个线性无关的解

我们要找到这个通解，就要先找到两个线性无关的解。因为指数函数微分形式不变，所以尝试以指数函数作为方程的解。

1.1.1 设出解的形式

注释：

1、我们没必要设解为：

因为我们只想找到一个解，不妨设A=1，从而简化问题。而且不同的A对应的解是线性相关的。

2、其中s是常数（注意：s是复数也可以，因为即使它是复数，指数函数微分形式还是不变的，仍然可能是方程的解）。

1.1.2 把解代回原方程

把解代入原方程，我们得到：

注释：该方程称作微分方程的特征方程，该方程也可通过观察原微分方程直接得出。

1.1.3 求出这个解

应用求根公式，得：

在此，我们先定义一些常数：

(1)、衰减因子，衰减常数，damping factor

该常数随不同电路结构而发生改变，在该RLC串联电路中：

(2)、无阻尼自然频率，简谐振荡频率，undamped natural frequency,simply resonance frequency

(3)、阻尼自然频率，damped natural frequency

(4)、品质因数，quality factor

注释：这些定义只不过是，把关于原方程中常数RLC的一些算式，用其它字母替代了而已。这在数学上没有什么道理可言。我们做此定义完全是基于实际物理意义的考虑，在此处暂不做深入讨论。

用以上定义的常数表示s，得：

1.2 求齐次微分方程的通解

对与原方程中常数的不同取值，s1、s2可能是两个不相等的实数、两个相等的实数或两个共轭复数，本文中仅研究第三种情况。其约束条件如下：

欠阻尼条件：

注释：在RLC串联电路中，该条件等价于：

因此，微分方程两个线性无关的解为：

由二阶齐次线性微分方程解的结构可知：

也是微分方程的两个线性无关的解。

因此，微分方程的通解可写成：

注释：该通解仅在欠阻尼条件下成立，否则通解将会是完全不同的形式！

1.3 求齐次微分方程的唯一解

在确定通解中任意常数之前，先准备一些要用到的等式：

对v(t)进行三角恒等变换，得：

对v(t)求导，得：

1.3.1 由初始条件确定方程的唯一解

已知初始条件：

把初始条件代入通解，得：

因此，求得在该初始条件下的v(t)：

注释：该解仅在欠阻尼条件下成立，否则解将会是完全不同的形式！

1.3.2 解在约束条件下的化简

我们最终解出的函数比较复杂，为了看清它的性质，我们引入约束条件，对此进行化简：

电感初始电流为零：

在该约束条件下化简为：

仍然比较复杂，我们再引入另外一个约束条件：

深度欠阻尼条件：

注释：

1、在RLC串联电路中，该条件等价于：

显然，如果满足了深度欠阻尼条件，则欠阻尼条件也一定会同时满足。

2、在此列出一些等价的条件，这些条件在后文中会被依次使用到。

3、深度欠阻尼是为了方便说明作者自拟的词汇，并无此专业词汇。

在此条件下，微分方程的解最终可以化简为：

二求解非齐次微分方程

另外一个需要求解的方程：

我们要求解它，需要先知道其解的结构，下面以定理的形式给出：

2.1 求非齐次微分方程的通解

2.1.1 观察法求特解

注释：由二阶线性微分方程解的结构得知，原方程的解有无穷多个，但我们只要随便找到其中一个(这个解就叫特解)，就可以据此写出通解，这就是我们在此处能够应用观察法的原因。在该例中，由于存在着与自变量t无关的常数解，因此比较容易用观察法得到。当然，有的微分方程的特解形式十分复杂，根本不可能用观察法得出，本文对此不做深入讨论。