一阶电路频域分析的数学基础

引言：对于一个呈余弦变化的电源驱动的一阶电路，直接求解其微分方程十分繁琐。然而，如果仅考虑系统稳定后的响应，我们有更简便直观的方法。由于余弦函数变化的信号本身很常见，并且任何周期变化的信号都可以表示为不同频率余弦信号的叠加，因此这种方法很有通用性。对本文的任何疑问，都可以联系作者地球仪（www.diqiuyi.org ）。
内容索引
一 余弦驱动下方程求解
二 复数驱动下方程求解
2.1 求解该方程
2.2 阻抗
三 上述方程的联系
3.1 解的联系
3.2 性质联系
四 附录
复数相位的计算

一 余弦驱动下方程求解

已知方程如下：

参考一阶电路时域分析的数学基础，应用齐次解加特解法，得：

其中A为任意常数，A的确定与初始条件有关。但不论A是多少，齐次解都会随着时间增加而迅速减少，而特解却始终呈周期变化。在本文中我们只讨论时间很长，齐次解可以忽略时(稳态)方程的解。此时：

这就是原方程的解，在寻找特解过程中需要比较繁琐的三角变换，下面介绍另外一种求解方法。

二 复数驱动下方程求解

为了引出这种方法，我们先要求解另外一个方程：

2.1 求解该方程

虽然这个方程中含有虚数单位j，但没有关系，我们把它看成一个常数，应用齐次解加特解法，得：

同样的，我们不需要考虑初始条件的影响，因为当时间足够长时，只存在与初始条件无关的特解，此时：

这就是该方程的解，在此特别列出求解该方程特解的步骤：

2.2 阻抗

假设特解为：

为了求解常数K，把它代入原方程：

由于：

因此：

这里的阻抗拥有电阻的量纲，遵循电阻一样的组合规则，如串联的阻抗可以相加，并联的导纳（阻抗的倒数）可以相加，并且可以应用节点电压法，戴维南诺顿等效等。因此非常方便与直观。需要注意的是，这样得出来的解是方程解的近似，这个近似仅在时间足够长时才成立。

三 上述方程的联系

3.1 解的联系

我们首先先求出复数驱动下方程的解，然后对这个解求实部，就可以得到余弦驱动下方程的解。

3.2 性质联系

我们把复数驱动下方程的解（相当于系统的输出）与这个复数驱动（相当于系统的输入）相比，得到的比值也是一个复数，它不含有时间t，仅是频率的函数（这是否说明了周期信号的响应也一定是同频率的周期信号——作者注）。对它进行分析可以得到原来余弦驱动下方程的许多性质。在我们的例子中，这个比值是：

它的幅值和相位分别是：

余弦驱动方程的性质为：

观察上式，不难得出：

其中，φ的取值范围是–π——+π。当φ为正时，也就是φ在0——+π之间时，在以ωt为横轴的坐标上，输出的余弦图象相对于输入的余弦图象向左平移φ个单位，这被称作输出比输入超前φ。

四 附录

复数相位的计算

在上文中，我们已知复数如下：

求得其相位为：

对于复数的相位而言，其取值范围是–π——+π，或者0——2π。具体选择视方便而定，本文选用前一种。而对于反正切函数而言，其值域为–π/2——+π/2，并且在–π/2和+π/2两个点上没有定义。因此，用反正切函数求解相位必须分类讨论。以下给出一种分类方法：

也许把复数画在复平面上可以帮助你理解这组表达式，注意反正切函数的值域只有–π/2——+π/2

www.diqiuyi.org写于2012年10月11日