【数学笔记】对数、对数坐标与分贝

前言:近日看到一个波特图,试图理解它用对数坐标的原因,于是就稍微研究了下。并发现对数与我之前搞不大清楚的分贝有很大联系,因此顺便把分贝也说了下。

对数:

对数与指数是相反的运算,正如除法与乘法是相反的运算一样。

要取消乘6,可以用除6来解:

要取消6的若干次方的指数,可以用底数是6的对数,即:

注:上面这段话是选自《解码宇宙》——查尔斯.赛弗。

通常我们只使用几个固定的底数,如以2e或者10为底数。其中以10为底的对数叫做常用对数,记作lg

函数y=lgx,自变量与函数的关系表格如下:

x(自变量)

y=lgx(函数)

0.01

-2

0.1

-1

1

0

10

1

100

2

1000

3

它的图象:

由此可见:

1、欲使对数函数变化一个单位,自变量需要变化一个数量级。

2、该函数是单调递增,自变量1对应的对数为0

因此,自变量大于1时,对数函数变化缓慢;自变量小于1时,对数函数变化迅速。1是对数函数变化的一个明显的分界点。

在实际生活与工作中,有时候对物理量的描述用对数更加方便。因为对数描述法可能更符合人的心理特点。这就是心理学上的“韦伯定律”和“费希钠定律”,它揭示了在一定的刺激下,虽然物理量呈几何级数增长,但对于人的心理来讲,却呈线性增长。比如声音的响度、地震的强度等。这这些情况下,用对数坐标作图更加方便与直观。它既可以保证我们关心的那部分细节信息不丢失,又可以保证较大的作图范围。

对数坐标:

两条坐标轴的刻度间长度并不与刻度成比例,而是与刻度的对数成比例。它可以把幂函数图象转换成直线。例如:

指数n

线性坐标

对数坐标

3

2

1

-1

-2

对数坐标只能表示无量纲的量,如两个物理量的比值。为方便起见,我们引入分贝来表征这个比值的大小。

分贝(dB)

对于功率类物理量的比值(如功率),其分贝为该比值常用对数的10倍。

对于幅值类物理量的比值(如电压、电流、声压、场强等),其分贝为该比值常用对数的20倍。

用公式表示:

列表如下:

比值=物理量:基准量

分贝表示10lg(比值)

分贝表示20lg(比值)

0.5

-3

-6

0.707

-1.5

-3

1

0

0

1.414

1.5

3

2

3

6

4

6

12

10

10

20

100

20

40

1000

30

60

由此可见:

1、如果一个放大器的增益为6dB,则其对电压放大倍数为2倍,对功率的放大为4倍,实际上就是这样。虽然放大器对于电压和功率的放大倍数不同,但他们增益是一样的。这就是分贝对电压和功率的定义不同的原因。

如果我们给定了基准量,就可以直接用分贝表示物理量的大小了。负的分贝表示物理量比基准量小,0分贝表示物理量与基准量一样大。例如:

在电学领域:取600欧姆的纯电阻上耗散一毫瓦(mW)功率作为基准值,因此零电平功率(dBm和零电平电压(dBu)分别为1mW0.707V(有效值)

声强:由于人的耳朵所能感受到的最小声压是20µPa,因此人们就把这个压强作为声压强的参照标准。据此来表示声音的强度。

关于分贝的更多知识,敬请参阅 维基百科Decibel(英文)

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