一阶电路时域分析的数学基础
简介:由于电容(或电感)两端的电压与电流成微分关系,因此对含有电容(或电感)的电路列方程时,就一定会出现微分方程,而不是纯电阻网络的代数方程。因此,对微分方程的研究就成为理解这种电路特性的基础。其中最简单的一类电路(例如:由一个线性电容、一个线性电阻和一个电压源组成的电路),可以用一阶线性常系数微分方程来描述。本文以求解一阶线性常系数微分方程为例,顺便整理了微分方程的相关知识,以备查阅。对本文的任何疑问,都可以联系作者(联系方式见:www.diqiuyi.org “关于”页面)。
注释:本文中V和v并不区分大小写。
提纲:
一 通过求解微分方程得到通解
已知方程如下,求v(t)。
注释:
1、该方程表示了未知函数(v(t)),未知函数的导数(dv(t)/dt)与自变量(Q(t))之间的关系,因此它是微分方程。
2、该方程中所出现的未知函数的最高阶导数为一阶导数,因此这是一个一阶微分方程。
3、因此该方程对于未知函数及其导数是一次方程,所以这是一个线性微分方程。
4、由于该方程中未知函数导数的系数和未知函数的系数,都是一个常数(与t无关),因此这是一个常系数微分方程。
1.1 从齐次解入手求解微分方程:
1.1.1,写出对应的齐次方程:
注释:
1、Q(t)恒等于0时的方程为齐次方程,否则为非齐次方程。
2、只是解方程的话,未必非要从齐次方程入手,我们研究齐次方程是为了我们更好的了解微分方程的性质,这对我们理解电路是很有帮助的。
1.1.2,写出齐次解(齐次方程的解)的通用形式:
注释:
简单说明一下,因为指数函数和它的导数只相差一个常数因子,因此我们猜测微分方程的齐次解是指数函数的形式,其中A、s都是的常数。事实上,常系数一阶线性微分方程的齐次解都是这个形式,该结论可以被证明。
1.1.3、把齐次解带入齐次方程,求出系数s:
1.1.4、写出齐次解:
注释:
1、把齐次解带入齐次方程后得:
因为齐次解是指数形式,A=0时就不是指数了,所以A不为0(这里只是个说明,在严格的证明中,我们可以看出A绝对不会为零),而后面的指数部分也不会为0,所以它们可以约去,可得:
这个方程叫特征方程,该方程可通过观察齐次方程直接写出。因为在特征方程中,s的系数与未知函数一阶导数的系数相等,常数与未知函数的系数相等。该结论还可以被推广到高阶常系数齐次线性微分方程中。
2、事实上,只有s是待定常数,因为它可以通过齐次方程本身来确定。A是任意常数,因为A不论是多少,齐次方程都会成立。在此写出齐次线性微分方程解的结构:
对于一个一阶齐次线性方程,V1(t)是它的一个解,则通解为AV1(t),A是任意常数。
1.1.5、写出原方程解的通用形式:
对于原方程
它的解的通用形式为:
注释:
线性方程的解的形式就是把对应的齐次解中的常数A,变为u(t)。我不知道刚开始是如何想到用这种方法的,但是它就是对的,因为你把它带入原方程可以求出u(t)的表达式。该方法叫做常数变易法,可以推广到高阶线性微分方程中。
1.1.6、代入原方程解出u(t):
1.1.7、写出原方程的解v(t):
注释:
1、其中C是由不定积分得来的,因此它是一个任意常数。事实上,微分方程的解中都会含有任意常数,其个数与微分方程的阶数相同。
2、微分方程的求解可以到此可以结束,但为了进一步理解微分方程性质,我们继续讨论原方程的解。
1.2 对微分方程通解的进一步讨论
我们知道,微分方程的解是一系列函数,假如我们得到了其中的一个:
注释:
这一个解被称为特解,其中C0为一个常数(而非任意常数)。
可见,微分方程的解,就是对应齐次方程的通解(齐次解),加上原方程的任意一个解(特解)。
注释:
1、综上所诉,不论你是靠经验、直觉或是其它任何方式得到一个特解,你都可以把它与齐次解相加,构成最后的解。这种解微分方程的方法叫做齐次解加特解法。
2、如果你迷惑于C-C0与齐次解中的A有什么关系,其实大可不必,因为他们都是任意常数,如果你不放心的话,可以把
代回齐次方程,看看它是不是齐次方程的解。
3、事实上,对于本例来讲,我们并不需要独立的求齐次解和特解,我们是可以直接得出全解的。对于齐次解加特解法的价值,作者现在能知道的就是:A、如果我们可以通过经验或直觉尝试直接得出特解,齐次解加特解法可以帮我们回避复杂积分过程。B、作者从书得知,这种方法易于推广到高阶的情况,将来我会研究二阶微分方程,希望可以明确这个问题。
二 通过初始条件确定唯一的解
2.1 直接由初始条件确定微分方程唯一的解
仅从微分方程本身来讲,我们确定的解中必然含有任意常数,若要确定这个常数(这样就确定了解是唯一的函数),我们必须有额外的信息。对于一阶线性微分方程,如果知道:
即待求函数上面的一个点,把它带入到微分方程的解中,就足够我们确定这个唯一的函数V(t)了。
这个条件叫做初始条件,通常我们知道的初始条件是:
以下仅讨论这种情况。我们可以把它带入微分方程的解中,确定常数C为一个唯一的值。
因此,一旦我们知道了初始条件,微分方程的解中就不再含有任意常数,解就是一个唯一的函数。
2.2 对由初始条件确定的微分方程唯一解的进一步讨论
到此,我们已完成一阶线性常系数微分方程的求解,为了深入理解其性质,我们需要进一步讨论。
2.2.1 齐次方程在原初始条件下的解
若原方程对应的齐次方程
拥有同样的初始条件
易得,它的解为:
2.2.2 原方程在零初始条件下解
若原方程
拥有的初始条件为
易得,它的解为:
2.2.3 原方程在原初始条件下的解
因此,原方程
在初始条件
下的解可以变换为
用语言描述即为:微分方程的解可以看做,对应的齐次方程在初始条件下的解,与原方程在零初始条件下解的线性叠加。
注释:
1、不知道你有没有发现,我这里的写法不大精确,在上述好几个方程中,含有:
从数学上来讲,这一项仍然含有任意常数,我并不是很清楚如何用数学语言精确的表达。但遇到实际问题的时候,我们总是先积分出来后,再确定任意常数,就不会出现这个问题。
2、齐次方程在初始条件下的解被称为“零输入响应”,原方程在零初始条件下解被称为“零状态响应”。单从数学的角度考虑,这种方法并没有多少优势,它的价值在主要在于它有明确的物理含义,本文不会对此进行深入讨论,但从以下附录的例子中可以看出这种方法的一些价值。
3、请大家避免与齐次解加特解法相混淆。齐次解加特解法是我们在求微分方程通解时(此时我们还不知道初始条件),我们可以把微分方程的通解(称为全解),看成其对应的齐次解(对应齐次方程的通解)与原方程任意一个特解之和。而零输入加零状态法则是独立的求解两个含有初始条件的微分方程。
三 附录
3.1、零输入相应:
3.2、阶跃函数零状态响应:
3.3、冲积函数零状态相应:
注释:
单位冲击函数,为一个面积为1,时间很短的方波脉冲。
3.4、斜坡函数的零状态相应:
地球仪
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2012年8月29日
你还研究数学啊